线性时不变系统的冲击响应与卷积

线性时不变系统

线性时不变系统（LTI System）有两个性质，线性（Linear）和时不变（Time Invariant）。

对于系统（函数）\(O()\)，输入为 \(f_n(t)\)，输出为 \(x_n(t)\)，满足 \(O(f_n(t)) = x_n(t)\)。

线性（linear）

即满足叠加原理。

如果有： $$ O{\ a_1\cdot f_1(t) \ +\ a_2 \cdot f_2(t) \ } = a_1 \cdot x_1(y) + a_2 \cdot x_2(t) $$ 它就是线性的。

时不变（time invariant）

无论在什么时间点，输入相同，输出就相同

即满足： $$ O{ f(t) } = x(t) \Rightarrow O{ f(t - \tau) } = x(t - \tau) $$

时不变系统也称为定常系统，指系统的机械

LTI System 的分析

一个弹簧阻尼系统，就是经典的 LTI 系统。

在弹簧上有一个物块，施加力 \(f(t)\)，输出位移 \(x(t)\)。

\(f(t)\)、\(x(t)\) 的拉氏变换为 \(F(s)\)、\(X(s)\)，有： $$ F(s)H(s) = X(s) $$ 其中 \(H(s)\) 是传递函数的拉氏变换。

对两边求拉普拉斯逆变换： $$ \mathcal{L}^{-1}[\ F(s)H(s)\ ] = \mathcal{L}^{-1}[\ X(s) \ ] \ \Downarrow \ f(t) * h(t) = x(t) $$ 其中 \(*\) 表示卷积

可见卷积和和内积有拉普拉斯变换的关系

那么什么是卷积？

冲激函数

在推导卷积之前，引入冲激函数（Unit Impulse，或狄拉克函数 Dirac Delta）。它在计算时可以起到类似 “单位 1” 的作用。

定义一个函数 \(\delta(t)\)，满足： $$ \delta(t) = 0, t \neq 0 \ 且 \int^{\infty}_{-\infty} \delta(t)dt = 1 $$ \(\delta(t)\) 就叫做冲激函数，它的面积为 1、宽度为 0。

为了方便理解，可以写成离散的形式： $$ \delta(t) \quad = \quad \lim_{\Delta T \rightarrow 0} \delta_\Delta(t) \quad = \quad \delta_{\Delta}(t) \quad = \quad \left{\begin{array}{lc} \frac1{\Delta T} & 0 < t < \Delta T \ 0 & else \ \end{array}\right. \ $$ 在坐标系中，它实际上就是宽度为 \(\Delta T\)，高度为 \(\frac{1}{\Delta T}\) 的矩形。当 \(\Delta T \rightarrow 0\)， 它就是冲击函数。